브라-켓 표기법

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1. 개요

브라-켓 표기법은 벡터와 선형 범함수를 표현하는 데 사용되는 수학적 표기법으로, 특히 양자역학에서 널리 활용된다. 켓은 열벡터와 유사하게 벡터 공간의 원소를, 브라는 행벡터와 유사하게 쌍대 공간의 원소를 나타낸다. 브라와 켓은 꺾쇠괄호와 수직 막대를 사용하여 표기하며, 켓은 |v⟩, 브라는 ⟨f|와 같은 형태를 가진다. 이러한 표기법은 선형 연산자, 내적, 외적 등을 간결하게 표현하는 데 유용하며, 양자 상태, 파동 함수, 기저 변환 등을 나타내는 데 널리 사용된다. 브라-켓 표기법은 선형성, 결합 법칙, 에르미트 수반 등의 성질을 가지며, 기호의 재사용, 켓의 에르미트 수반, 브라와 켓 내부의 연산 등에서 주의가 필요하다.

2. 벡터 공간

브라-켓 표기법에서 벡터는 '켓(ket)'으로, 쌍대공간의 원소인 선형 범함수는 '브라(bra)'로 표현된다. 켓은 열벡터, 브라는 행벡터로 표현될 수 있으며, 정규 직교 기저를 사용하여 내적을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다. 힐베르트 공간뿐만 아니라, 바나흐 공간 등에서도 브라-켓 표기법을 사용할 수 있다.

'''켓'''은 $|v \rangle$ 형태를 갖는다. 수학적으로는 추상적인 (복소수) 벡터 공간 $V$ 에서 벡터 $\boldsymbol v$ 를 나타내고, 물리적으로는 어떤 양자계의 상태를 나타낸다.

'''브라'''는 $\langle f|$ 형태를 갖는다. 수학적으로는 선형 형식 $f:V \to \Complex$ , 즉 $V$ 의 각 벡터를 복소 평면 $\Complex$ 의 숫자에 매핑하는 선형 사상을 나타낸다. 선형 범함수 $\langle f|$ 가 벡터 $|v\rangle$ 에 작용하는 것은 $\langle f | v\rangle \in \Complex$ 로 표기된다.

고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.

: $\langle A | B \rangle \doteq A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N =\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}$

이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $\begin{align} \langle A | &\doteq \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \\| B \rangle &\doteq \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix} \end{align}$

그리고 이러한 정의에서는 브라 옆에 켓을 놓는 것이 행렬 곱셈의 의미를 갖는다는 것을 암시한다.

브라의 켤레 전치(''에르미트 수반''으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

: $\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |$

양자역학에서 브라-켓 표기법은 양자 상태를 나타내는 데 널리 사용된다.

바나흐 공간은 힐베르트 공간의 또 다른 일반화이다. 바나흐 공간에서 벡터는 케트로, 연속 선형 범함수는 브라로 표기할 수 있다. 위상이 없는 임의의 벡터 공간에서도, 벡터는 케트로, 선형 범함수는 브라로 표기할 수 있다. 이러한 보다 일반적인 맥락에서 브라-켓은 내적의 의미를 갖지 않는데, 그 이유는 리즈 표현 정리가 적용되지 않기 때문이다.

2. 1. 켓 (Ket)

켓(Ket)은 벡터 공간의 원소를 나타내는 표기법으로, |ψ⟩ 와 같이 쓴다. 켓 안에는 어떤 기호나 문자, 숫자, 단어 등을 레이블로 사용할 수 있다.^[15] 예를 들어 양자역학에서는 양자수를 사용하여 에너지 고유 켓을 나타낸다.

물리학에서 "벡터"는 변위나 속도와 같이 공간의 세 차원 또는 시공간의 네 차원과 직접적으로 관련된 양을 지칭하는 경우가 많다. 이러한 벡터는 위쪽 화살표(

\vec r

), 굵은 글씨(

\mathbf{p}

) 등으로 표시한다. 반면, 양자역학에서 양자 상태는 복소 힐베르트 공간의 원소로 표현되며, 이러한 추상 복소 벡터를 "켓"이라 부르고,

|\phi\rangle

와 같이 표기한다.

켓은 에르미트 벡터 공간의 벡터이므로, 선형 대수의 일반적인 규칙을 사용하여 조작할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\begin{align}|A \rangle &= |B\rangle + |C\rangle \\|C \rangle &= (-1+2i)|D \rangle \\|D \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} |x\rangle \, \mathrm{d}x \,.\end{align}

여기서 마지막 줄은 각 실수 x에 대해 무한히 많은 서로 다른 켓을 사용한 것이다.

브라(bra)

\langle\phi|

는 켓

|\psi\rangle

가 이루는 벡터 공간의 쌍대 공간의 원소이다.

2. 2. 브라 (Bra)

브라-켓 표기법에서 브라(Bra)는 쌍대 공간의 원소, 즉 선형 범함수를 나타내며, `\langle \phi |` 와 같이 표기한다. 브라는 켓에 작용하여 복소수를 출력하는 선형 변환으로 이해할 수 있다.

유한 차원 벡터 공간에서는 브라를 행벡터로, 켓을 열벡터로 나타낼 수 있으며, 브라 옆에 켓을 놓는 것은 행렬 곱셈을 의미한다. 예를 들어 고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한 차원 벡터 공간에서 내적은 행 벡터와 열 벡터의 행렬 곱셈으로 표현될 수 있다.

:\langle A | B \rangle \doteq A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N =

\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}

이를 바탕으로 브라는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:\langle A | \doteq \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}

브라의 켤레 전치(에르미트 수반)는 해당 켓이며, 그 반대도 성립한다.

:\langle A |^\dagger = |A \rangle

수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터 공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어 있다.

2. 3. 규격화 불가능 상태

양자역학에서 무한한 노름을 갖는 켓, 즉 정규화 가능 파동 함수가 아닌 켓은 관습적으로 사용된다. 예시로는 파동 함수가 디랙 델타 함수 또는 무한 평면파인 상태가 있다. 엄밀히 말하면, 이러한 상태는 힐베르트 공간 자체에 속하지 않지만, 이러한 상태를 수용하도록 "힐베르트 공간"의 정의를 확장할 수 있다. (겔판트-나이마르크-세갈 구성 또는 가동 힐베르트 공간 참조). 브라-켓 표기법은 이와 같이 더 넓은 맥락에서도 유사하게 계속 작동한다.

바나흐 공간은 힐베르트 공간의 또 다른 일반화이다. 바나흐 공간에서 벡터는 케트로, 연속 선형 범함수는 브라로 표기할 수 있다. 위상이 없는 임의의 벡터 공간에서도, 벡터는 케트로, 선형 범함수는 브라로 표기할 수 있다. 이러한 보다 일반적인 맥락에서 브라-켓은 내적의 의미를 갖지 않는데, 그 이유는 리즈 표현 정리가 적용되지 않기 때문이다.

3. 선형 연산자

선형 연산자는 켓을 입력으로 받아 켓을 출력으로 하는 맵이다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇 가지 속성이 요구된다.) 다시 말해, '''A'''가 선형 연산자이고 ψ/ψ^영어가 켓이면, '''A'''ψ/ψ^영어은 또 다른 켓이다.

''N''-차원 힐베르트 공간에서, ψ/ψ^영어는 ''N'' × 1 열벡터로, '''A'''는 복소수 항목을 포함한 ''N'' × ''N'' 행렬로 쓸 수 있다. 켓 '''A'''ψ/ψ^영어는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산할 수 있다.

선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, 에너지나 운동량 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자 (에르미트 연산자)로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 유니터리 선형 연산자로 표현된다.

연산자가 브라의 ''오른쪽''에서 작용하는 것으로 표기되는 경우, 선형 연산자 '''A'''^영어와 브라 에 대해 '''A'''/⟨φ^영어는 다음과 같은 규칙으로 정의되는 또 다른 브라이다.

: $\bigl(\langle\phi|\boldsymbol{A}\bigr) |\psi\rangle = \langle\phi| \bigl(\boldsymbol{A}|\psi\rangle\bigr).$

이는 함수의 합성이며, 일반적으로 다음과 같이 쓴다.

: $\langle\phi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,.$

''N''^영어-차원 힐베르트 공간에서 는 1 × ''N''^영어 행벡터로, '''A'''^영어는 ''N'' × ''N''^영어 행렬로 쓸 수 있다. 그러면 브라 '''A'''/⟨φ^영어는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다.

만약 같은 상태 벡터가 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면,

: $\langle\psi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,,$

이 표현은 상태 ψ}}/{{ket^영어에 있는 물리학 계에 대해 관측 가능한 표현 연산자 '''A'''^영어의 기댓값 또는 평균을 나타낸다.

힐베르트 공간 ℋ/H^영어 에서 선형 연산자를 정의하는 편리한 방법은 외적(Outer product)으로 정의하는 것이다. 브라-켓 표기법에서 외적은 |ϕ⟩⟨ψ| 와 같이 표기하며, 이는 켓을 브라로, 브라를 켓으로 변환하는 연산자이다. 이 연산은

: $\bigl(|\phi\rang \lang \psi|\bigr)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang$

와 같은 규칙에 따라 계급-1 연산자를 나타낸다.

유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다.

: $|\phi \rangle \, \langle \psi | \doteq\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end{pmatrix}$

이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는 N × N 행렬이다.

외적은 사영 연산자를 구성하는 데 사용될 수 있다. 노름이 1인 주어진 켓 |ψ⟩에 대해, |ψ⟩에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 |ψ⟩⟨ψ|이다.

연산자 ''A''의 에르미트 수반은 ''A''^†로 표기하며, (''A''|ψ⟩)^† = ⟨ψ|''A''^† 와 같이 정의된다. 만약 ''A''가 ''N'' × ''N'' 행렬로 표현된다면, ''A''^†는 ''A''의 켤레전치이다.

''ψ''/관측가능량}}은 항상 에르미트 연산자로 표현된다. 예를 들어, 만약 A 가 자기수반연산자이면, 는 항상 실수이다.

3. 1. 켓에 작용하는 선형 연산자

선형 연산자는 켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 맵이다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇 가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서, 만약 '''A'''가 선형 연산자이고 ψ/ψ^영어가 켓일 때, '''A'''ψ/ψ^영어은 또다른 켓이다.

''N''-차원 힐베르트 공간에서, ψ/ψ^영어는 ''N'' × 1 열벡터로 쓰일 수 있으며, '''A'''는 복소수 항목을 포함한 ''N'' × ''N'' 행렬로 쓰일 수 있다. 켓 '''A'''ψ/ψ^영어는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다.

선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, 에너지나 운동량 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 유니터리 선형 연산자로 표현된다.

3. 2. 브라에 작용하는 선형 연산자

연산자가 브라의 ''오른쪽''에서 작용하는 것으로 표기되는 경우, 선형 연산자 '''A'''^영어와 브라 에 대해 '''A'''/⟨φ^영어는 다음과 같은 규칙으로 정의되는 또 다른 브라이다.

:

\bigl(\langle\phi|\boldsymbol{A}\bigr) |\psi\rangle = \langle\phi| \bigl(\boldsymbol{A}|\psi\rangle\bigr).

이는 함수의 합성이며, 일반적으로 다음과 같이 쓴다.

:

\langle\phi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,.

''N''^영어-차원 힐베르트 공간에서 는 1 × ''N''^영어 행벡터로, '''A'''^영어는 ''N'' × ''N''^영어 행렬로 쓸 수 있다. 그러면 브라 '''A'''/⟨φ^영어는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다.

만약 같은 상태 벡터가 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면,

:

\langle\psi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,,

이 표현은 상태 ψ}}/{{ket^영어에 있는 물리학 계에 대해 관측 가능한 표현 연산자 '''A'''^영어의 기댓값 또는 평균을 나타낸다.

3. 3. 외적 (Outer product)

힐베르트 공간 ℋ/H^영어 에서 선형 연산자를 정의하는 편리한 방법은 외적(Outer product)으로 정의하는 것이다. 브라-켓 표기법에서 외적은 |ϕ⟩⟨ψ| 와 같이 표기하며, 이는 켓을 브라로, 브라를 켓으로 변환하는 연산자이다. 이 연산은

:

\bigl(|\phi\rang \lang \psi|\bigr)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang

와 같은 규칙에 따라 계급-1 연산자를 나타낸다.

유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다.

:

|\phi \rangle \, \langle \psi | \doteq\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end{pmatrix}

이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는 N × N 행렬이다.

외적은 사영 연산자를 구성하는 데 사용될 수 있다. 노름이 1인 주어진 켓 |ψ⟩에 대해, |ψ⟩에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 |ψ⟩⟨ψ|이다.

3. 4. 에르미트 수반 (Hermitian conjugate)

연산자 ''A''의 에르미트 수반은 ''A''^†로 표기하며, (''A''|ψ⟩)^† = ⟨ψ|''A''^† 와 같이 정의된다. 만약 ''A''가 ''N'' × ''N'' 행렬로 표현된다면, ''A''^†는 ''A''의 켤레전치이다.

''ψ''/관측가능량}}은 항상 에르미트 연산자로 표현된다. 예를 들어, 만약 A 가 자기수반연산자이면, 는 항상 실수이다.

4. 브라-켓 표기법의 성질

복소수 ''c''₁ 과 ''c''₂, 그리고 켤레 복소수 ''c''^*, 임의의 선형 연산자 ''A'' 와 ''B''에 대하여, 브라-켓 표기법은 다음과 같은 성질을 갖는다. 이 성질은 브라와 켓 어느 것을 선택해도 적용된다.

선형성

브라는 선형 범함수이므로, ⟨φ|(c₁|ψ₁⟩ + c₂|ψ₂⟩) = c₁⟨φ|ψ₁⟩ + c₂⟨φ|ψ₂⟩ 가 성립한다.^[16] 덧셈의 정의와 쌍대공간에서의 선형 범함수의 스칼라곱의 정의에 따라 (c₁⟨φ₁| + c₂⟨φ₂|) |ψ⟩ = c₁⟨φ₁|ψ⟩ + c₂⟨φ₂|ψ⟩ 가 성립한다.^[9]

결합 법칙

브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서 괄호로 묶는 것은 어떠한 문제도 되지 않는다. 즉, 결합 법칙 속성을 갖고 있다. 예를 들어 다음과 같다.

:

\lang \psi| \bigl(A |\phi\rang\bigr) = \bigl(\lang \psi|A\bigr)|\phi\rang \, \stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang

:

\bigl(A|\psi\rang\bigr)\lang \phi| = A\bigl(|\psi\rang \lang \phi|\bigr) \, \stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |

식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는 것이 허용된다. ''왜냐하면'' 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 반전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.

에르미트 수반

브라-켓 표기법에서 에르미트 수반은 다음과 같이 표현된다.

* 브라의 에르미트 수반은 켓이고, 그 역도 성립한다.
* 복소수의 에르미트 수반은 켤레 복소수이다.
* 어떤 것(선형 연산자, 브라, 켓, 숫자)의 에르미트 수반의 에르미트 수반은 자기 자신이다. 즉, $\left(x^\dagger\right)^\dagger=x \,.$이다.
* 브라-켓 표기법으로 기술된 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 연산자의 조합에 대해, 에르미트 수반은 각 요소의 순서를 뒤집고, 각각에 대해 에르미트 수반을 취하여 계산할 수 있다.

이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다.

내적의 경우, $\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle $ 와 같이, 에르미트 수반은 순서를 바꾸고 켤레 복소수를 취하는 것과 같다. 는 스칼라이므로, 에르미트 수반은 단순히 켤레 복소수이다. 즉, $\bigl(\langle \phi | \psi \rangle\bigr)^\dagger = \langle \phi | \psi \rangle^*$이다.

켓 $(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle)$의 에르미트 수반은 $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$이다.

행렬 원소의 경우, $\langle \phi| A | \psi \rangle^* = \left\langle \psi \left| A^\dagger \right|\phi \right\rangle$ , $\left\langle \phi\left| A^\dagger B^\dagger \right| \psi \right\rangle^* = \langle \psi | BA |\phi \rangle $ 와 같이 나타낼 수 있다.

외적의 경우, $\Big(\bigl(c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|\bigr) + \bigl(c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|\bigr)\Big)^\dagger = \bigl(c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|\bigr) + \bigl(c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|\bigr) $이다.

브라의 수반은 켓, 켓의 수반은 브라이다.

$\langle \psi |^{\dagger} = | \psi \rangle , \quad | \psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi |$

4. 1. 선형성

브라는 선형 범함수이므로, ⟨φ|(c₁|ψ₁⟩ + c₂|ψ₂⟩) = c₁⟨φ|ψ₁⟩ + c₂⟨φ|ψ₂⟩ 가 성립한다.^[16] 덧셈의 정의와 쌍대공간에서의 선형 범함수의 스칼라곱의 정의에 따라 (c₁⟨φ₁| + c₂⟨φ₂|) |ψ⟩ = c₁⟨φ₁|ψ⟩ + c₂⟨φ₂|ψ⟩ 가 성립한다.^[9]

4. 2. 결합 법칙

브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서 괄호로 묶는 것은 어떠한 문제도 되지 않는다. 즉, 결합 법칙 속성을 갖고 있다. 예를 들어 다음과 같다.

:

\begin{align}\lang \psi| \bigl(A |\phi\rang\bigr) = \bigl(\lang \psi|A\bigr)|\phi\rang \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang \\\bigl(A|\psi\rang\bigr)\lang \phi| = A\bigl(|\psi\rang \lang \phi|\bigr) \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |\end{align}

식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는 것이 허용된다. ''왜냐하면'' 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 반전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.

4. 3. 에르미트 수반

브라-켓 표기법에서 에르미트 수반은 다음과 같이 표현된다.

브라의 에르미트 수반은 켓이고, 그 역도 성립한다.
복소수의 에르미트 수반은 켤레 복소수이다.
어떤 것(선형 연산자, 브라, 켓, 숫자)의 에르미트 수반의 에르미트 수반은 자기 자신이다. 즉, $\left(x^\dagger\right)^\dagger=x \,.$이다.
브라-켓 표기법으로 기술된 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 연산자의 조합에 대해, 에르미트 수반은 각 요소의 순서를 뒤집고, 각각에 대해 에르미트 수반을 취하여 계산할 수 있다.

이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다.

내적의 경우, $\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle $ 와 같이, 에르미트 수반은 순서를 바꾸고 켤레 복소수를 취하는 것과 같다. 는 스칼라이므로, 에르미트 수반은 단순히 켤레 복소수이다. 즉, $\bigl(\langle \phi | \psi \rangle\bigr)^\dagger = \langle \phi | \psi \rangle^*$이다.

켓 $(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle)$의 에르미트 수반은 $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$이다.

행렬 원소의 경우, $\langle \phi| A | \psi \rangle^* = \left\langle \psi \left| A^\dagger \right|\phi \right\rangle$ , $\left\langle \phi\left| A^\dagger B^\dagger \right| \psi \right\rangle^* = \langle \psi | BA |\phi \rangle $ 와 같이 나타낼 수 있다.

외적의 경우, $\Big(\bigl(c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|\bigr) + \bigl(c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|\bigr)\Big)^\dagger = \bigl(c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|\bigr) + \bigl(c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|\bigr) $이다.

브라의 수반은 켓, 켓의 수반은 브라이다.

$\langle \psi |^{\dagger} = | \psi \rangle , \quad | \psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi |$

5. 양자역학에서의 사용

양자역학에서 브라-켓 표기법은 양자 상태를 나타내는 데 널리 사용된다. 이 표기법은 "브라"와 "켓"을 구성하기 위해 꺾쇠괄호( $\langle$ 와 $\rangle$ ) 및 수직 막대( $|$ )를 사용한다.^[1]^[2]

'''켓'''은 $|v \rangle$ 형태를 갖는다. 수학적으로는 추상적인 (복소수) 벡터 공간 $V$ 에서 벡터 $\boldsymbol v$ 를 나타내고, 물리적으로는 어떤 양자계의 상태를 나타낸다.

'''브라'''는 $\langle f|$ 형태를 갖는다. 수학적으로는 선형 형식 $f:V \to \Complex$ , 즉 $V$ 의 각 벡터를 복소 평면 $\Complex$ 의 숫자에 매핑하는 선형 사상을 나타낸다. 선형 범함수 $\langle f|$ 가 벡터 $|v\rangle$ 에 작용하는 것은 $\langle f | v\rangle \in \Complex$ 로 표기된다.

양자역학에서 식

\langle\phi|\psi\rangle

은 일반적으로 상태

\psi

가 상태

\phi

로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다. 수학적으로는

\psi

가

\phi

으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태

\psi

의 상태

\phi

로의 사영을 의미한다.

양자역학의 수학적 구조는 대부분 선형대수학에 기반하고 있다.

파동 함수 및 기타 양자 상태는 복소 힐베르트 공간의 벡터로 표현될 수 있다. 브라-켓 표기법에서 전자는 $| \psi \rangle$ "상태"에 있을 수 있다.
양자 중첩은 구성 상태의 벡터 합으로 설명할 수 있다. 예를 들어, 전자가 $|1 \rangle + |2 \rangle$ 인 상태에 있는 것은 상태 $| 1\rangle$ 과 상태 $| 2\rangle$ 가 중첩된 상태에 있다는 것이다.
측정은 양자 상태의 힐베르트 공간에 있는 선형 연산자(관측 가능량이라고 함)와 관련이 있다.
역학은 또한 힐베르트 공간의 선형 연산자로 설명된다. 예를 들어, 슈뢰딩거 묘사에는 하나의 전자가 지금 상태 $| \psi \rangle$ 에 있을 때 모든 가능한 $| \psi \rangle$ 에 대해 적용되는 선형 시간 변화 연산자 U가 있어 약간의 시간 뒤의 상태를 $U | \psi \rangle$ 로 표시한다.

5. 1. 스핀이 없는 위치 공간 파동 함수

스핀이 없는 점입자의 힐베르트 공간은 위치 공간의 모든 점들의 집합으로 레이블'''r'''^영어되는 "공간기저" }}}위에 펼쳐져 있다.^[7] 이 레이블은 몇몇 기저 상태에서 작용하는 위치 연산자의 고유값,

\hat{\mathbf{r}}|\mathbf{r}\rangle =   \mathbf{r}|\mathbf{r}\rangle

이다. 불가산 무한한 수의 벡터 원소는 기저에 있으며, 이것은 불가산 무한 차원 힐베르트 공간이다. 힐베르트 공간의 차원(일반적으로 무한)과 위치 공간(보통 1,2,3)은 섞이지 않는다.

이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓 }} 에 대해 파동함수로도 알려져 있는 스칼라 함수 을 정의할 수 있다.

:

\Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r}|\Psi\rang \,.

왼쪽의 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 ∫ d³'''r''' Ψ('''r''') }}는 켓이다.

그 다음에는 관습적으로 파동함수(켓)에 작용하는 선형 연산자를 다음과 같은 방법으로 정의한다.

:

A \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r}|A|\Psi\rang \,.

예를 들어, 운동량 연산자 는 다음과 같은 형태이다.

:

\mathbf{p} \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r} |\mathbf{p}|\Psi\rang = - i \hbar \nabla \Psi(\mathbf{r}) \,.

간혹

\nabla |\Psi\rang

와 같은 표현을 만나게 될 때도 있지만, 이것은 표기법의 남용이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저

:

\nabla \lang\mathbf{r}|\Psi\rang

에 사영되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다. 그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는 와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다.

5. 2. 기저 변환

정적인 스핀-1/2 입자는 이차원 힐베르트 공간을 가지며, 이 공간의 정규 직교 기저 가운데 하나는 다음과 같다.

:

|{\uparrow}_z \rangle \,, \; |{\downarrow}_z \rangle

여기서, |↑_''z''⟩^영어는 각운동량 연산자 ''S_z'' 의 값이 확실히 +1/2인 상태이고, |↓_''z''⟩^영어는 각운동량 연산자 ''S_z'' 의 값이 확실히 -1/2인 상태이다.

이러한 기저를 통해, 입자의 ''어떠한'' 양자 상태도 두 기저의 선형결합(즉, 양자 중첩)으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

|\psi \rangle = a_{\psi} |{\uparrow}_z \rangle + b_{\psi} |{\downarrow}_z \rangle

이때 ''a_ψ'' 와 ''b_ψ'' 는 복소수이다.

다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 ''다른'' 기저도 존재한다.

:

|{\uparrow}_x \rangle \,, \; |{\downarrow}_x \rangle

이 상태들은 대신 ''S_x''의 관점에서 정의된 것이다. 또한, 입자의 ''어떠한'' 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

|\psi \rangle = c_{\psi} |{\uparrow}_x \rangle + d_{\psi} |{\downarrow}_x \rangle

어떠한 기저를 사용하는지에 따라 다음과 같이 다른 벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다.

:

|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} a_\psi \\ b_\psi \end{pmatrix} \quad \text{또는} \quad |\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} c_\psi \\ d_\psi \end{pmatrix}

다시 말해서, 벡터의 "좌표"는 사용된 기저에 의존한다.

이것은 , 와 , 의 수학적 관계이며, 자세한 내용은 기저 변환을 참고하라.

정규 직교 기저 중 두 개의 라벨을 α, β^일본어로 하고, 내적을 브라-켓 표기법으로 나타내면, 이산 기저에서는 크로네커 델타를 사용하여

:

\langle\alpha|\beta\rangle = \delta_{\alpha, \beta},

연속 기저에서는 델타 함수를 사용하여

:

\langle\alpha|\beta\rangle = \delta (\alpha - \beta)

가 된다.

또한 정규 직교 기저의 완전성은 이산 기저에 대해,

:

\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha| = 1

연속 기저에 대해,

:

\int \mathrm{d} \alpha ~ |\alpha\rangle\langle\alpha| = 1

로 표현된다.

6. 합성계와 단위 연산자

두 힐베르트 공간 ''V''와 ''W''는 텐서곱을 통해 또 다른 공간 ''V'' ⊗ ''W''를 형성할 수 있는데, 이것은 양자역학에서 복합계를 설명하는 데 사용된다.^[10] 만약 계가 각각 ''V''와 ''W''로 설명되는 두 개의 부분계로 구성된 경우, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱이다.^[10] (두 부분계가 동일 입자인 경우는 예외이며, 이 경우 상황은 약간 더 복잡해진다.)^[10]

만약 |ψ⟩가 ''V''에 속한 켓이고, |φ⟩는 ''W''에 속한 켓일 때, 두 켓의 직접 곱은 ''V'' ⊗ ''W''에 속한 켓이다. 이것은 다음과 같이 다양한 표기법으로 쓰인다.^[10]

: $|\psi\rangle|\phi\rangle \,,\quad |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle\,,\quad|\psi \phi\rangle\,,\quad|\psi ,\phi\rangle\,.$

이러한 곱의 적용은 양자 얽힘과 EPR 역설을 참고하라.^[10]

완비정규직교계( 기저 )이고,

: $\{ e_i \ | \ i \in \mathbb{N} \} \,,$

인 노름이 내적}}인 힐베르트 공간를 고려하자.

기초적인 함수해석학에서, 어떠한 켓 |ψ⟩는 다음과 같이 쓰일 수 있다는 것은 알려진 사실이다.^[10]

: $|\psi\rangle = \sum_{i \in \mathbb{N}} \langle e_i | \psi \rangle | e_i \rangle,$

이때 }}은 힐베르트 공간 위에서의 내적이다.

켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음이 유도된다.^[10]

: $\sum_{i \in \mathbb{N}} | e_i \rangle \langle e_i | = 1\!\! 1$

는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 '항등 연산자'여야 한다.^[10]

이것은 그 값을 변경하지 않고 임의의 표현식에 삽입될 수 있다.^[10] 예를 들어,

$\begin{align}\langle v | w \rangle &= \langle v | \left( \sum_{i \in \mathbb{N}} | e_i \rangle \langle e_i| \right) | w \rangle \\&= \langle v | \left( \sum_{i \in \mathbb{N}} | e_i \rangle \langle e_i| \right) \left( \sum_{j \in \mathbb{N}} | e_j \rangle \langle e_j |\right)| w \rangle \\&= \langle v | e_i \rangle \langle e_i | e_j \rangle \langle e_j | w \rangle \,,\end{align}$

여기서 마지막 줄에서는 아인슈타인 합 규칙이 복잡함을 피하기 위해 사용되었다.

양자 역학에서, 임의의 (상태) 케트 두 개의 내적 }}에 대한 정보가 거의 또는 전혀 없을 때가 종종 발생하지만, 특정 (정규 직교화된) 기저에 대한 해당 벡터의 전개 계수 = *}} 및 }}에 대해 무언가를 말하는 것은 여전히 가능하다. 이 경우, 단위 연산자를 괄호 안에 한 번 이상 삽입하는 것이 특히 유용하며, 자세한 내용은 항등원의 분해를 참조하면 된다.^[10]

7. 표기법 사용 시 주의점

물리학계에서 일반적으로 브라-켓 표기법의 몇가지 관례와 오용이 받아들여지고 있지만, 이러한 표기법은 혼동을 일으킬 여지가 있다.

== 기호의 재사용 ==

동일한 기호를 레이블과 상수로 동시에 사용하는 것은 일반적이다.^[8] 예를 들어, `α̂|α⟩ = α|α⟩`에서 기호 `α`는 연산자의 이름 `α̂`, 고유벡터 `|α⟩`, 그리고 연관된 고유값 `α`로 동시에 사용되었다.^[8] 때로는 연산자에 대한 "햇" 기호도 생략되어 `A|a⟩ = a|a⟩` 와 같은 표기법을 볼 수 있다.^[8]

== 켓의 에르미트 수반 ==

$|\psi\rangle^\dagger = \langle\psi|$ 와 같이 대거(†)가 에르미트 켤레에 해당하는 표기를 자주 볼 수 있다. 하지만 기술적인 의미에서 이는 정확하지 않다. 왜냐하면 켓, $|\psi\rangle$ 는 복소 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 내의 벡터를 나타내고, 브라, $\langle\psi|$ 는 $\mathcal{H}$ 내의 벡터에 대한 선형 범함수이기 때문이다. 즉, $|\psi\rangle$ 는 단지 벡터인 반면, $\langle\psi|$ 는 벡터와 내적의 결합이다.

== 브라와 켓 내부의 연산 ==

브라-켓 표기법에서 벡터의 크기를 빠르게 변환하기 위해 $|\alpha/\sqrt{2} \rangle$ 와 같이 표기하는 경우가 있다. 하지만 $\alpha$ 는 단순한 레이블일 뿐, 연산을 수행할 수 있는 대상이 아니므로 이는 모호한 표현이다.

예를 들어, $\hat{\boldsymbol{\alpha}} |\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle$ 에서 기호 $\alpha$ 는 연산자의 이름, 고유벡터, 그리고 연관된 고유값으로 동시에 사용되어 혼동을 줄 수 있다.

벡터를 텐서곱으로 표현할 때 레이블의 일부가 켓 바깥으로 이동하는 경우가 있다. $|\alpha \rangle = |\alpha/\sqrt{2} \rangle_1 \otimes |\alpha/\sqrt{2} \rangle_2$ 와 같이 표기하며, 이 때 아래첨자 1, 2와 같이 켓 바깥으로 이동하여 서로 다른 뜻을 갖는 세 벡터 레이블의 일부분을 표현한다.

7. 1. 기호의 재사용

7. 2. 켓의 에르미트 수반

|\psi\rangle^\dagger = \langle\psi|

와 같이 대거(†)가 에르미트 켤레에 해당하는 표기를 자주 볼 수 있다. 하지만 기술적인 의미에서 이는 정확하지 않다. 왜냐하면 켓,

|\psi\rangle

는 복소 힐베르트 공간

\mathcal{H}

내의 벡터를 나타내고, 브라,

\langle\psi|

는

\mathcal{H}

내의 벡터에 대한 선형 범함수이기 때문이다. 즉,

|\psi\rangle

는 단지 벡터인 반면,

\langle\psi|

는 벡터와 내적의 결합이다.

7. 3. 브라와 켓 내부의 연산

브라-켓 표기법에서 벡터의 크기를 빠르게 변환하기 위해

|\alpha/\sqrt{2} \rangle

와 같이 표기하는 경우가 있다. 하지만

\alpha

는 단순한 레이블일 뿐, 연산을 수행할 수 있는 대상이 아니므로 이는 모호한 표현이다.

예를 들어,

\hat{\boldsymbol{\alpha}} |\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle

에서 기호

\alpha

는 연산자의 이름, 고유벡터, 그리고 연관된 고유값으로 동시에 사용되어 혼동을 줄 수 있다.

벡터를 텐서곱으로 표현할 때 레이블의 일부가 켓 바깥으로 이동하는 경우가 있다.

|\alpha \rangle = |\alpha/\sqrt{2} \rangle_1 \otimes |\alpha/\sqrt{2} \rangle_2

와 같이 표기하며, 이 때 아래첨자 1, 2와 같이 켓 바깥으로 이동하여 서로 다른 뜻을 갖는 세 벡터 레이블의 일부분을 표현한다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] Youtube Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford) https://www.youtube.[...] 2006-10-02
_[5] Youtube Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford) https://www.youtube.[...] 2006-10-02
_[6] 웹사이트 Gidney, Craig (2017). Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication http://algassert.com[...]
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 간행물 Lecture notes by Robert Littlejohn http://bohr.physics.[...]
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 웹사이트 Gidney, Craig (2017). Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication http://algassert.com[...]
_[15] 서적 Quantum Mechanics Demystified https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[16] 간행물 Lecture notes by Robert Littlejohn http://bohr.physics.[...]

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